S-Bundles and Gerbes over Differentiable Stacks

We study S-bundles and S-gerbes over differentiable stacks in terms of Lie groupoids, and construct Chern classes and Dixmier-Douady classes in terms of analogues of connections and curvature. c © 2001 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS S-Fibrés et Gerbes sur des Champs Différentiables Résumé. On étudie les S-fibrés et les S-gerbes sur des champs différentiables en termes de groupöıdes de Lie et construit les classes de Chern et Dixmier-Douady en termes d’analogues aux connexions et courbure. c © 2001 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS Version française abrégée Soit X un champ différentiable et P → X un S-fibré sur X. Soit Γ ⇉ M une présentation par un groupöıde de Lie pour X. Alors P induit un S-fibré P sur M sur lequel agit Γ ⇉ M . On réalise la classe de Chern de P en termes de donées de type connexion sur P et prouve l’existance des préquantifications. Plus précisément, Soit θ ∈ Ω(P ) une pseudo-connexion, et ω + Ω ∈ Z DR(Γ•) sa pseudo-courbure. Theorem 0.1. – La classe [ω+Ω] ∈ H DR(Γ•) est indépendante du choix de la pseudo-connexion θ et correspond à la classe de Chern de P . Réciproquement, soit ω + Ω ∈ C DR(Γ•) un 2-cocycle entier. Alors il existe un S-fibré P sur Γ ⇉ M et une pseudo-connexion θ ∈ Ω(P ) ayant ω + Ω pour pseudo-courbure. De plus, l’ensemble des classes d’isomorphisme de tous ces (P, θ) est un H(Γ • ,R/Z)-ensemble. Si G est une S-gerbe sur X, et R ⇉ M une présentation du champ différentiable G et soit Γ ⇉ M le groupöıde de Lie défini par la présentation induite M → X de X. Alors R est une Sextention centrale du groupöıde de Lie Γ ⇉ M . Ainsi les S-extensions centrales de Γ ⇉ M sont exactement les S-gerbes sur X, données d’une trivialisation sur M . A nouveau, on peut réaliser Note présentée par First name NAME S0764-4442(00)0????-?/FLA c © 2001 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS. Tous droits réservés. 1